ĐỀ SỐ 8
Thời gian làm bài: 180 phút.
I. PHẦN CHUNGCâu I. (2 điểm) Cho hàm số $y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\,\,\,\,\,\left( C \right)$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\,(\,C\,)$ của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cân của $\left( C \right)$ thành một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Câu II. (2 điểm)1. Giải phương trình: $2\sin 7x\sin x + 8{\sin ^4}2x + \sqrt 3 \sin 6x = 8{\sin ^2}2x$
2. Giải bất phương trình: ${4^{2x}} - {15.2^{2\left( {x + \sqrt {x + 4} } \right)}} - {16^{1 + \sqrt {x + 4} }} \le 0$
Câu III. (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $x=1;x=3$ và các đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} + x = \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right),\,\,\,y = \sin x + {2^{3{{\log }_3}x}}$.
Câu IV. (1 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$, đáy $ABC$ là tam giác vuông có $CA=CB=a$, góc giữa đường thẳng $B{A_1}$ và mặt phẳng $AC{C_1}{A_1}$ bằng $30^0$. Gọi $M$ là trung điểm của $A_1B_1$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $A_1BC$.
Câu V. (1 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 4} + \sqrt {{x^2} - 2xy + {y^2} + 1} + \sqrt {{y^2} - 6y + 10} = 5\\
{\log _3}8xy{z^3} = 10{\log _9}{z^2} - {\left( {{{\log }_3}\frac{{3{x^2}z}}{y}} \right)^2}
\end{array} \right.$
II. PHẦN RIÊNG (Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần $A$ hoặc $B$)A. Theo chương trình Chuẩn.Câu VIa. (2 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes $Oxy$, cho các điểm $A(1;3),B(4;3)$. Tìm tọa độ điểm $M$ sao cho góc $\widehat {MAB}$ có số đo bằng $135^0$ và khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $AB$ bằng $\frac{{\sqrt {10} }}{2}$.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Descartes $Oxyz$, cho $A\left( {5;3; - 2} \right),B\left( {2;0;4} \right),C\left( { - 1;0;1} \right)$. Lập phương trình mặt phẳng qua $OA$, cắt đoạn $BC$ tại $D$ sao cho tỉ số thể tích của các khối tứ diện $OABD$ và $OACD$ bằng $3$.
Câu VIIa. (1 điểm) Tìm tất cả các số phức $z$ thỏa phương trình: ${\left( {\frac{{i - z}}{{z + i}}} \right)^4} = 1$
B. Theo chương trình Nâng caoCâu VIb. (2 điểm)1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Descartes $Oxy$, cho $A(2;3)$ là một trong hai giao điểm của hai đường tròn $\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} = 13,\,\,\,\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} - 12x + 11 = 0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ cắt $\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)$ theo hai dây cung khác nhau có độ dài bằng nhau.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Descartes $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ có $A$ trùng với gốc tọa độ, các điểm $B\left( {1;0;0} \right),\,\,D\left( {0;1;0} \right),\,\,{A_1}\left( {0;0;1} \right)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $AA_1$ và tạo với $BC$, $B_1D_1$ những góc bằng nhau.
Câu VIIb. (1 điểm) Xét khai triển ${\left( {1 - x + {x^2} - {x^3}} \right)^6}$ thành đa thức \[P = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{18}}{x^{18}}\] Tìm hệ số $a_9$.
